তোমাদের জন্য চলছে জনপ্রিয় বিভাগ মার্কশিট। এই বিভাগে থাকছে পরীক্ষায় নম্বর বাড়ানোর সুলুক সন্ধান। এবারের বিষয় দশম শ্রেণীর অঙ্ক। পরামর্শে ব্যারাকপুর রাষ্ট্রীয় উচ্চ বিদ্যালয়ের অঙ্কের শিক্ষক শ্যামল বিশ্বাস।

আমার প্রিয় ছাত্র-ছাত্রীরা। খুব খারাপ সময়ের মধ্যে দিয়ে আমরা চলছি। কিন্তু জীবন তো থেমে থাকে না। সব বাধা কাটিয়ে পড়াশুনো ঠিক মতো চালিয়ে যেতে হবে। আজ আমি তোমাদের গণিতের ‘ত্রিকোণমিতি’ অংশটির ওপর আলোচনা করব। এই অংশে মাধ্যমিকে সর্বাধিক ১৮ নম্বর উত্তর করার সুযোগ থাকে।
প্রায় ২১৫০ বছর আগে গ্রিক জ্যোতির্বিদ ও গণিতজ্ঞ হিপ্পারকাস (Hipparchus) এই বিশেষ শাখার উদ্ভাবক। তাঁকে ‘ত্রিকোণমিতির জনক’ বলা হয়। ‘ত্রিকোণ’ অর্থে তিনটি কোণ বোঝায়, আর ‘মিতি’ অর্থ পরিমাপ। মূলত জ্যোতির্বিজ্ঞানের জন্য ত্রিকোণমিতির উদ্ভব হয়। যেমন— পূর্বে এর সাহায্যে পৃথিবী থেকে গ্রহ এবং নক্ষত্রের দূরত্ব নির্ণয় করা হতো। কিন্তু বর্তমানে ব্যবহারিক জীবনে এর প্রয়োগের ক্ষেত্র বেড়েছে। যেমন— মানচিত্র আঁকা, জমি জরিপ, পর্বতচূড়ার উচ্চতা নির্ণয়, স্তম্ভের উচ্চতা নির্ণয়, বিশাল নদীর বিস্তার নির্ণয় (এসব ক্ষেত্রে Theodolite যন্ত্রের সাহায্যে কোণ মাপা যেতে পারে), বলবিদ্যা, ইঞ্জিনিয়ারিং প্রভৃতি।
তোমরা জানো যে জ্যামিতিক কোণ 0° থেকে 360° পর্যন্ত হয়। কিন্তু ত্রিকোণমিতিক কোণের মানের কোনও সীমা থাকে না। এমনকী এই কোণ ধনাত্মক (যখন একটি রশ্মি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরে কোণ উৎপন্ন করে) ও ঋণাত্মক (ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরে উৎপন্ন কোণ) উভয়ই হতে পারে। সুতরাং ত্রিকোণমিতিক কোণ জ্যামিতিক কোণ অপেক্ষা অধিকতর ব্যাপক। ত্রিকোণমিতিক কোণ পরিমাপের তিনটি পদ্ধতি আছে। যথা— (i) ষষ্টিক পদ্ধতি (Sexagesimal System) (ii) বৃত্তীয় পদ্ধতি (Circular System) (iii) শতক পদ্ধতি (Centesimal System)। ষষ্টিক পদ্ধতিতে এক সমকোণকে সমান 90টি ভাগে ভাগ করে প্রতিটি ভাগকে এক ডিগ্রি (1°) ধরা হয়। সুতরাং 1 সমকোণ = 90°। আবার 1° = 60′ (মিনিট) ও 1′ =60′′ (সেকেন্ড)। বৃত্তীয় পদ্ধতিতে কোণ পরিমাপের একক হল রেডিয়ান। কোনও বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান বৃত্তচাপ ওই বৃত্তের কেন্দ্রে যে সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তার পরিমাপকে এক রেডিয়ান (1c) বলা হয়। যে কোনও ব্যাসার্ধের বৃত্তের ক্ষেত্রে 1­c একটি ধ্রুবক কোণ। 1c=57.3° (প্রায়)। সুতরাং, যে কোনও বৃত্তের ক্ষেত্রে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান বৃত্তচাপ ওই বৃত্তের কেন্দ্রে প্রায় 57.3° কোণ উৎপন্ন করে। এছাড়া তোমরা pc=180° এবং s=r q (যেখানে s দৈর্ঘ্যসম্পন্ন বৃত্তচাপ r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্রে q রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে) সম্পর্ক দুটির প্রয়োগ ভালো করে অনুশীলন করবে। শতক পদ্ধতি বর্তমান পাঠক্রমের অন্তর্গত নয়। এখানে এক সমকোণকে সমান 100 ভাগে ভাগ করে প্রতি ভাগকে এক গ্রেড (1g) ধরা হয়। সুতরাং 1 সমকোণ =100g। এরপর তোমরা পাবে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ। তোমরা জ্যামিতি অংশে পেয়েছ যে— ‘দুটি সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী’। সুতরাং কোনও সমকোণী ত্রিভুজের একটি সূক্ষ্মকোণ সাপেক্ষে একাধিক সদৃশ সমকোণী ত্রিভুজ আঁকলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হবে। সেখান থেকে আমরা বলতে পারি যে, কোনও সমকোণী ত্রিভুজের একটি সূক্ষ্মকোণ সাপেক্ষে বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত সম্পূর্ণভাবে সূক্ষ্মকোণটির পরিমাপের উপর নির্ভরশীল কিন্তু বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের উপর নয়। এখন সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দুটি করে নিয়ে মোট ছয় প্রকারের অনুপাত পাওয়া যায়। এই অনুপাতগুলিকে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বলা হয়। এই কারণে সদৃশ ত্রিভুজ হল ত্রিকোণমিতির ভিত্তিস্বরূপ। সূক্ষ্মকোণ q সাপেক্ষে এই ছয়টি অনুপাত হল sin q (sineq), cosq (cosineq), tanq (tangentq), cosecq (cosecantq), secq (secantq) ও cotq (cotangentq)। তোমরা এদের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক (সূত্র) ও তার প্রয়োগ ভালো করে শিখবে। পরবর্তী শ্রেণীতে q সূক্ষ্মকোণ না হলেও এই ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলি বৈধ। সেক্ষেত্রে এদের মান ঋণাত্মক হতে পারে। 0°£ q £ 90° হলে sinq ও cosq উভয়েরই বৃহত্তম মান 1 ও ক্ষুদ্রতম মান 0 হয়। এইভাবে অবশিষ্ট অনুপাতগুলির মানের সীমা মনে রাখবে।
এখানে কয়েকটি ব্যাপারে তোমরা খুব সতর্ক থাকবে। যেমন- sin2q ¹ 2sinq (পরবর্তী শ্রেণীতে পাবে sin2q=2sinq cosq) (ii) sin(a+b)= sina + cosb (পরবর্তী শ্রেণীতে পাবে sin(a+b)= sina cosb+ cosa sinb) (iii) (iv) sin2q=(sinq)2 ¹ sinq2। এরপর আদর্শ কোণগুলির (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহের মান ভালো করে মনে রাখবে (ছকের সাহায্য নিতে পারো)। এগুলি ‘উচ্চতা ও দূরত্ব’ সংক্রান্ত সমস্যা সমাধানে প্রয়োজন হবে। পরবর্তী শ্রেণীতে 15°, 75°, 18°, 36° প্রভৃতি কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান জানতে পারবে।
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির যোগফল 90°। সুতরাং এই সূক্ষ্মকোণ দুটি পরস্পরের পূরক কোণ। এটির উপর ভিত্তি করে উৎপন্ন সূত্র sin(90°-q)=cosq, cos(90°-q)=sinq ইত্যাদি। এগুলির প্রয়োগ অনুশীলন করবে। দশম শ্রেণীতে ত্রিকোণমিতির সর্বশেষ অধ্যায় হল ‘উচ্চতা ও দূরত্ব’। একটি সমকোণী ত্রিভুজের যে কোনও দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে পিথাগোরাসের সূত্রের প্রয়োগে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়। কিন্তু যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও একটি সূক্ষ্মকোণের মান দেওয়া থাকে তবে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগে অপর বাহু দুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়। আবার একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগে সূক্ষ্মকোণ দুটির মান পাওয়া যায়। এই ধারণার উপর ভিত্তি করে ‘উচ্চতা ও দূরত্ব’ সংক্রান্ত সমস্যাগুলির সমাধান করা হয়।
এখানে কয়েকটি বিষয় খুব গুরুত্বপূর্ণ। যেমন- (i) উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণের পার্থক্য (ii) অবনতি কোণ বোঝাতে গিয়ে পর্যবেক্ষক বিন্দু থেকে অনুভূমিক রেখার সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন। (iii) বিশেষভাবে কিছু উল্লেখ না থাকলে ব্যক্তির সাপেক্ষে উন্নতি বা অবনতি কোণ বোঝাতে গিয়ে ব্যক্তিকে একটি বিন্দু হিসাবে ধরা (অর্থাৎ ব্যক্তির উচ্চতা অগ্রাহ্য করা) (iv) গাছ, স্তম্ভ, লাইট-পোস্ট ইত্যাদি ভূমিতলের উপর লম্ব ভাবে আছে ধরে নেওয়া।
সবশেষে বলি তোমরা খুব ভালো করে ত্রিকোণমিতি শিখবে, না হলে পরবর্তী ক্ষেত্রে গণিত তো বটেই বিজ্ঞানের অন্যান্য বিষয় শিখতেও অসুবিধা হবে।